МИНИСТЕРСТВО ПРОСВЕЩЕНИЯ
РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ
Муниципальное бюджетное общеобразовательное учреждение
"Средняя общеобразовательная школа № 29"

Рассмотрена на заседании
Методического совета
протокол № 1 от 28.08.2025

Рассмотрена на заседании
Общешкольного Совета
родителей
протокол № 1 от 28.08.2025

Утверждена приказом
Директора МБОУ СОШ
№ 29№ 168
от 28.08.2025

СОСТАВИТЕЛЬСКАЯ ПРОГРАММА
факультативного курса
«Решение трудных вопросов по математике»
для обучающихся 11 класса

Первоуральск, 2025

Пояснительная записка
Настоящая программа факультативного курса составлена для 11 класса и предназначена
для использования в учебном плане общеобразовательного учреждения.
Основное содержание материала соответствует федеральному государственному
стандарту среднего общего образования, программе среднего общего образования, а также
демонстрационному варианту ЕГЭ по математике.
Цели курса:
- подготовка обучающихся к итоговой аттестации в форме ЕГЭ;
- усвоение, углубление и расширение математических знаний;
- интеллектуальное, творческое развитие обучающихся, закрепление устойчивого
интереса к предмету;
- развитие информационной культуры.
Задачи курса:
- обеспечение достаточно прочной базовой математической подготовки, необходимой для
продуктивной деятельности в современном информационном мире;
- овладение определенным уровнем математической и информационной культуры.
Курс рассчитан на 34 занятия, по 2 часа в неделю, всего 68 часов.
Первая тема «Тестирование как форма контроля знаний». При её изучении учащиеся
имеют возможность познакомиться с элементами теории тестирования, со структурой
КИМов, с критериями оценивания правильности выполнения заданий.
Остальные темы соответствуют основным блокам содержания заданий ЕГЭ.
Тема «Числа и вычисления» содержит материал основной школы, знание которого
необходимо для успешного выполнения заданий данного типа. Материал темы «Выражение
и преобразования» представляет базовый инструментарий для решения заданий из
последующей темы «Уравнения и неравенства». Эти задания занимают центральное место
среди заданий как базового, так и повышенного и высокого уровней сложности. При
изучении темы «Функции» особое внимание необходимо уделить заданиям на нахождение
отдельных характеристик функций, заданных графиками. При изучении темы
«Геометрические фигуры и их свойства» отрабатываются навыки нахождения площадей
фигур, объемов тел, углов между прямыми, плоскостями, а также навыки применения
элементов тригонометрии при решении геометрических задач.
Содержание курса
1. Тестирование как форма контроля знаний.
Классификация педагогических тестов. Формы тестовых заданий. Требования к тестам.
Нормативно-правовое и организационное основания ЕГЭ. Спецификация экзаменационной
работы в форме ЕГЭ. Структура КИМов. Использование инструментария для решения
заданий с кратким ответом (типа В). Общие и конкретные критерии проверки и оценивания
заданий ЕГЭ типа С. Последовательность шагов решения, обоснование «ключевых»
моментов решения.
Демоверсия экзаменационной работы ЕГЭ, её структура, перечень контролируемых
вопросов содержания.
2. Числа и вычисления
Приемы устного счета. Округление чисел. Приближение с недостатком и с избытком.
Проценты, пропорции. Основные задачи на проценты. Решение текстовых задач (на

движение, производительность и работу, в целых числах, на концентрацию, смеси и сплавы).
Разбор типичных ошибок при выполнении заданий ЕГЭ.
3. Выражения и преобразования
Корень степени n. Свойства корня степени n. Тождественные преобразования выражения,
содержащих радикалы. Логарифмы, их свойства. Тождественные преобразования
логарифмических выражений. Синус, косинус, тангенс числового аргумента. Тождественные
преобразования тригонометрических выражений. Разбор типичных ошибок при выполнении
заданий ЕГЭ.
4. Уравнения и неравенства
Общие методы решения уравнений. Разложение на множители. Замена переменной.
Использование свойств функций и графиков при решении уравнений.
Решение рациональных, иррациональных, тригонометрических, показательных,
логарифмических, комбинированных уравнений. Системы уравнений с двумя неизвестными.
Решение неравенств рациональных, иррациональных, показательных, логарифмических,
содержащих неизвестную под знаком модуля. Системы неравенств. Доказательство
неравенств. Разбор типичных ошибок при решении уравнений, неравенств.
5. Функции
Свойства функций: тригонометрической, показательной, логарифмической. Графики
функций, построение графиков функций. Чтение графиков функций. Производная функции,
геометрический и физический смысл производной. Нахождение производной суммы,
произведения, частного, сложной функции. Исследование функций с помощью производной.
Нахождение промежутков монотонности, экстремумов, наибольшего и наименьшего
значений функции. Нахождение первообразной функции. Разбор типичных ошибок при
выполнении заданий ЕГЭ.
6. Геометрические фигуры и их свойства
Геометрические фигуры на плоскости. Площади фигур (треугольника, трапеции,
параллелограмма, произвольного многоугольника, круга). Признаки равенства и подобия
треугольников. Теоремы синусов и косинусов. Окружность, касательная к окружности.
Площадь круга. Центральные и вписанные углы. Вписанные и описанные окружности.
Геометрические фигуры в пространстве. Векторы. Многогранники. Площадь боковой и
полной поверхности. Объем призмы, пирамиды. Тела вращения. Площадь боковой и полной
поверхности. Объем цилиндра, конуса, шара. Комбинации тел. Разбор типичных ошибок при
выполнении заданий ЕГЭ.

Поурочное планирование
1
2
3
4
5
6
7
8
9

Спецификация экзаменационной работы в форме ЕГЭ. Демоверсия экзаменационной работы
ЕГЭ, её структура, перечень контролируемых вопросов содержания.
Общие и конкретные критерии проверки и оценивания заданий ЕГЭ
Округление чисел. Приближение с недостатком и с избытком.
Проценты. Пропорции, основное свойство пропорции. Основные задачи на проценты.
Решение текстовых задач на движение
Решение текстовых задач на производительность и работу.
Решение задач на концентрацию, смеси и сплавы.
Решение задач с помощью уравнений и неравенств.
Корень степени n. Свойства корня степени n.

10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
41
42
43
44
45
46
47
48
49
50
51

Тождественные преобразования выражения, содержащих радикалы.
Логарифмы, их вычисление. Свойства логарифмов.
Тождественные преобразования логарифмических выражений.
Синус, косинус, тангенс числового аргумента.
Тождественные преобразования тригонометрических выражений.
Решение уравнений разложением на множители.
Решение уравнений заменой переменной.
Использование свойств функций и графиков при решении уравнений.
Решение рациональных уравнений.
Методы решения иррациональных уравнений.
Решение иррациональных уравнений.
Решение тригонометрических уравнений вида cos x=a.
Решение тригонометрических уравнений вида sin x=a.
Решение тригонометрических уравнений вида tg x=a.
Решение показательных уравнений.
Решение логарифмических уравнений.
Решение комбинированных уравнений.
Системы уравнений с двумя неизвестными.
Решение рациональных неравенств.
Решение иррациональных неравенств.
Решение показательных неравенств.
Решение логарифмических неравенств.
Решение неравенств, содержащих неизвестную под знаком модуля.
Решение систем неравенств.
Доказательство неравенств.
Разбор типичных ошибок при решении уравнений и неравенств из ЕГЭ
Свойства тригонометрической функции.
Свойства показательной функции.
Свойства логарифмической функции.
Графики функций, построение графиков функций.
Чтение графиков функций.
Производная функции, физический смысл производной.
Производная функции, геометрический смысл производной
Нахождение производной суммы.
Нахождение производной произведения.
Нахождение производной частного.
Нахождение производной сложной функции.
Правила дифференцирования.
Исследование функций с помощью производной.
Нахождение промежутков монотонности, экстремумов функции.
Нахождение наибольшего и наименьшего значений функции.
Нахождение первообразной функции. Разбор типичных ошибок при выполнении заданий

52
53
54
55
56
57
58
59
60
61
62
63
64
65
66

ЕГЭ
Геометрические фигуры на плоскости.
Площадь треугольника, трапеции.
Площадь параллелограмма, произвольного многоугольника, круга.
Признаки равенства и подобия треугольников.
Теоремы синусов и косинусов.
Окружность, касательная к окружности. Площадь круга.
Центральные и вписанные углы.
Вписанные и описанные окружности.
Геометрические фигуры в пространстве.
Метод координат в пространстве.
Многогранники. Площадь боковой и полной поверхности.
Объем призмы.
Объем пирамиды.
Тела вращения. Площадь боковой и полной поверхности.
Объем цилиндра, конуса, шара.

67 Комбинации тел.
68 Разбор типичных ошибок при выполнении заданий ЕГЭ.
Требования к уровню подготовки учащихся.
Организация обучения по данной программе дает возможность достаточно полно
сформировать такие умения по предмету как:
 использование приобретенных знаний и умений в практической деятельности и
повседневной жизни;
 выполнение вычислений и преобразований;
 умение решать уравнения и неравенства;
 умение выполнять действия с функциями;
 умение выполнять действия с геометрическими фигурами, координатами и векторами;
 умение строить и исследовать математические модели.
В результате изучения курса учащиеся будут:
1 Уметь выполнять вычисления и преобразования
1.1 Выполнять арифметические действия, сочетая устные и письменные приемы; находить
значения корня натуральной степени, степени с рациональным показателем, логарифма
1.2 Вычислять значения числовых и буквенных выражений, осуществляя необходимые
подстановки и преобразования
1.3 Проводить по известным формулам и правилам преобразования буквенных
выражений, включающих степени, радикалы, логарифмы и тригонометрические функции
2 Уметь решать уравнения и неравенства
2.1 Решать рациональные, иррациональные, показательные, тригонометрические и
логарифмические уравнения, их системы
2.2 Решать уравнения, простейшие системы уравнений, используя свойства функций и их
графиков; использовать для приближенного решения уравнений и неравенств графический
метод
2.3 Решать рациональные, показательные и логарифмические неравенства, их системы

3 Уметь выполнять действия с функциями
3.1 Определять значение функции по значению аргумента при различных способах
задания функции; описывать по графику поведение и свойства функций, находить по
графику функции наибольшие и наименьшие значения; строить графики изученных функций
3.2 Вычислять производные и первообразные элементарных функций
3.3 Исследовать в простейших случаях функции на монотонность, находить наибольшие и
наименьшие значения функций
4 Уметь выполнять действия с геометрическими фигурами, координатами и
векторами
4.1 Решать планиметрические задачи на нахождение геометрических величин (длин,
углов, площадей)
4.2 Решать простейшие стереометрические задачи на нахождение геометрических величин
(длин, углов, площадей, объемов); использовать при решении стереометрических задач
планиметрические факты и методы
4.3 Определять координаты точки; проводить операции над векторами, вычислять длину и
координаты вектора, угол между векторами
5 Уметь строить и исследовать простейшие математические модели
5.1 Моделировать реальные ситуации на языке алгебры, составлять уравнения и
неравенства по условию задачи; исследовать построенные модели с использованием
аппарата алгебры
5.2 Моделировать реальные ситуации на языке геометрии, исследовать построенные
модели с использованием геометрических понятий и теорем, аппарата алгебры; решать
практические задачи, связанные с нахождением геометрических величин.
5.3 Проводить доказательные рассуждения при решении задач, оценивать логическую
правильность рассуждений, распознавать логически некорректные рассуждения
6 Уметь использовать приобретенные знания и умения в практической
деятельности и повседневной жизни
6.1 Анализировать реальные числовые данные; осуществлять практические расчеты по
формулам, пользоваться оценкой и прикидкой при практических расчетах
6.2 Описывать с помощью функций различные реальные зависимости между величинами
и интерпретировать их графики; извлекать информацию, представленную в таблицах, на
диаграммах, графиках
6.3 Решать прикладные задачи, в том числе социально-экономического и физического
характера, на наибольшие и наименьшие значения, на нахождение скорости и ускорения